以下图中直角等腰三角形的直角顶点为中心，以直角边为半径画出一个圆的四分之一，再以斜边为直径画一个半圆。这两个圆弧就组成了一个月牙，如图中斜线部分。这个图形就叫阿波罗尼斯的月牙。
请你把这个月牙的面积和等腰三角形的面积比较一下，看看二者有什么关系。
相等
连接：
阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga) 约公元前262年生于佩尔格；约公元前190年卒，数学家。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。
《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。直到17世纪的B.帕斯卡和R.笛卡儿才有新的突破。《圆锥曲线论》共8卷，前4卷的希腊文本和其次 3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失。此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内克缪斯（公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解释太阳系内5大行星的运动时，提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。
阿波罗尼奥斯是佩尔格(Perga或Perge)地方的人．古代黑海与地中海之间的地区，称为安纳托利亚(Anatolia，今属土耳其)，其南部有古国潘菲利亚(Pamphylia)，佩尔格是它的主要城市．
学习生涯
阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习，那时是托勒密三世(Ptolemy Euergetes，公元前246—前221年在位)统治时期，到了托勒密四世(Ptolemy Philopator，公元前221—前205在位)时代，他在天文学研究方面已颇有名气．
后来他到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国，那里有一个大图书馆、规模仅次于亚历山大图书馆．国王阿塔罗斯一世(Attalus ⅠSoter，公元前269—前197年，前241—197年在位)除崇尚武功外，还注重文化建设．阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第4卷起都是呈递给阿塔罗斯的，后世学者认为就是这位国王．(见[5]，p．126；[6]，p．227；[4]，p．595．)但存在一个疑点，他在写信给阿塔罗斯时直书其名，而没有在前面加上“国王”的称呼，这是违背当时的礼仪习惯的．可能有两种解释，一是他指的不是国王而是另一个同名的人，二是阿波罗尼奥斯相当放荡不羁，而这位君主确能礼贤下士，不拘小节．
圆锥曲线论
在帕加马还认识一位欧德莫斯(Eudemus)，《圆锥曲线论》的前3卷是寄给他的．在这书的第2卷的前言中，阿波罗尼奥斯说他曾将这一卷通过他儿子交给欧德莫斯，并说如果见到菲洛尼底斯(Philonides)时，请欧德莫斯将书也给他一阅．菲洛尼底斯是阿波罗尼奥斯在以弗所(Ephesus)结识的几何学家，对圆锥曲线论颇感兴趣，阿波罗尼奥斯曾介绍过他和欧德莫斯认识．
第3卷没有留下前言．第4卷的前言是写给阿塔罗斯的，开头说这8卷著作的前3卷是交给欧德莫斯的，现在他已去世，我决定将其余各卷献给你，因为你渴望得到我的著作．
由此可知阿波罗尼奥斯写此书是在晚年，至少是在儿子成年以后．又知道他到过以弗所．他的主要成就是建立了完美的圆锥曲线论，总结了前人在这方面的工作，再加上自己的研究成果，撰成《圆锥曲线论》(Conics)8大卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．直到17世纪的B．帕斯卡(Pascal)、R．笛卡儿(Descartes)，才有实质性的推进．欧托基奥斯(Euto-cius of Ascalon，约生于公元480年)在注释这部书时说当时的人称他为“大几何学家”．
阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大前期三大数学家．时间约当公元前300年到前200年，这是希腊数学的全盛时期或“黄金时代”．
贡献
《圆锥曲线论》是一部极其重要的著作．在第1卷的前言中，阿波罗尼奥斯向欧德莫斯述说撰写的经过：“几何学家诺克拉底斯(Naucrates)来到亚历山大，鼓励我写出这本书．我赶在他乘船离开之前仓促完成交给他，根本没有仔细推敲．现在才有时间逐卷修订，并分批寄给你”．
这部书是圆锥曲线的经典著作，写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的．先设立若干定义，再由此依次证明各个命题．推理是十分严格的，有些性质在欧几里得《几何原本》中已得到证明，便作为已知来使用，但原文并没有标明出自《原本》何处，译本为了便于参考，将出处补上．(比较[6]pp．280—335中的希腊原文和英译文．)后人对此颇有微词．阿基米德的传记作者甚至说阿波罗尼奥斯将阿基米德未发表的关于圆锥曲线的成果据为己有．此说出自欧托基奥斯的记载，但他同时说这种看法是不正确的．帕波斯(Pappus)则指责阿波罗尼奥斯采用了许多前人(包括欧几里德)在这方面的工作，而从未归功于这些先驱者．当然，他在前人的基础上作出了巨大的推进，其卓越的贡献也是应该肯定的．
《圆锥曲线论》的出现，立刻引起人们的重视，被公认为这方面的权威著作．帕波斯曾给它增加了许多引理，塞里纳斯(Serenus，4世纪)及许帕提娅(Hypatia)都作过注解．欧托基奥斯校订注释前4卷希腊文本．9世纪时，君士坦丁堡(东罗马帝国都城)兴起学习希腊文化的热潮，欧托基奥斯的4卷本被转写成安色尔字体(uncial，手稿常用的一种大字体)并保存下来，不过有些地方已被窜改．
前4卷最早由叙利亚人希姆斯(Hilāl ibn Abī Hilāl alHimsī，卒于883或884)译成阿拉伯文．第5—7卷由塔比伊本库拉 (Thābit ibn Qurra，约公元826—901年)从另外的版本译成阿拉伯文．纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al-Tūsi，1201—1274)第1—7卷的修订本(1248年)现有两种抄本藏于英国牛津大学博德利(Bodleian)图书馆，一种是1301年的抄本，一种是1626年第5—7卷的抄本．
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