《直线与圆的位置关系》说课稿
常州市田家炳高级中学 王琳
今天我说课的内容是《直线与圆的位置关系》。接下来我将从教材分析、教学教法分析、教学设计、板书设计这四个方面来进行说明。
一．教材分析
1.教材的地位与作用
《直线与圆的位置关系》是苏教版高中数学必修二第二章第二节的内容。圆的教学在平面几何占有重要地位，并且直线与圆的位置关系应用比较广泛。从知识体系上看，它安排在“点和圆的位置关系”之后，“圆与圆的位置关系”之前；从数学思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。因此，直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。
2.学情分析
(1)知识储备
学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，为本节课的利用直线和圆的方程的再研究打下了坚实的基础。
(2)心理特征
高中阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，同时学生的观察能力、想象能力在迅速发展。这个年龄的学生好奇心强、喜欢表现，注意力容易分散，教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生广泛的、积极主动的参与到教学中，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上。
(3)情感态度
创设问题情境，激发学生的好奇心，学生对新内容的学习有一定的的兴趣和积极性，但在探究能力和合作交流发展上还不够均衡。
3.教学重难点
本节课的内容是在学生初中了解了直线和圆位置关系的判断方法之后，利用直线和圆的方程的再研究。情境的改变必然导致研究思路的变化，本节课主要是研究利用解析法来判断直线和圆的位置关系，研究问题的思想方法学生不熟悉。新课程《标准》要求，教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，我将本节课的教学重点确定为：用解析法研究直线与圆的位置关系。教学难点确定为：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。
4.教学目标
新课程标准要求是能根据直线与圆的方程判断其位置关系，体会用代数方法处理几何问题的思想，感受形与数的对立与统一，初步掌握数形结合的思想方法在数学问题中的应用。根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：
(1)知识与技能
能够根据给定的直线、圆的方程，熟练的求出交点坐标，掌握判断直线与圆的位置关系的方法，并解决一些简单问题。
(2)过程与方法
通过观察、讨论、合作研究等数学活动，掌握转化的数学思想。
(3)情感态度与价值观
通过对本节课知识的探究活动，加深学生对解析法解决几何问题的认识，提升自主探索和合作交流能力。
二、教法学法分析
教法：
(1)恰当的利用多媒体课件，通过学生身边的实际生活问题引入课题，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性；
(2)采用启发式教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入；
(3)在整个教学过程中，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则。对于不同难度的问题，提问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现的机会，培养其自信心，激发其学习热情。有效地开发各层次学生的潜在智能，力求使每个学生都能在原有的基础上得到发展。
学法：
(1)让学生从代数和几何两个角度来解决直线与圆的位置关系问题，并体会几何法的优越性；
（2）在运用几何法解决直线与圆的位置关系时，要能明确运算方向，把握关键步骤。
在以上教材分析、教法学法分析的前提下，我设计了如下教学过程，分为四个环节。
三、教学过程设计
(一)课堂结构：
创设情境，提出问题；
探究发现，建构新识；
应用举例，巩固提高；
回顾反思，拓展延伸；
(二)教学简要过程：
1．创设情境，提出问题
|
问题引入：轮船航线与台风问题
由实际生活中的“轮船航线与台风问题”引入课题，使学生认识到研究直线与圆的位置关系所具有的现实意义和必要性，增强学生“用数学”的意识，引导学生建立数学模型，找出港口和轮船确定的直线，在平面直角坐标系下，得到圆与直线的方程，此时提出问题：
轮船如果不改变航线，是否会受到台风影响？
【设计意图】
问题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始。用提问的方式，可以引发学生进一步学习的好奇心；该问题事实上是在解决直线与圆的位置关系问题，也就是本节课重点内容。
2．探究发现，建构新识
为了更好地解决上述问题，我又提出了三个相关的新问题：
问题1：在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
问题2：在平面几何中，我们是怎样判断直线与圆的位置关系？
问题3：如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？
通过学生的自主画图探究，在图形的情境下，结合初中所学的知识，学生很容易给出答案。而且问题2，问题3可以体现出，我们可以分别从“形”和“数”两个角度去判断直线与圆的位置关系。
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|
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|
d和r的关系 |
d<> |
d=r |
d>r |
|
公共点个数 |
2 |
1 |
0 |
进而提出第四个问题：
问题4：给定直线与圆的方程，如何去判断直线与圆的位置关系？
结合问题二三的答案，判断直线与圆的位置关系分为两种方法：一种是根据直线与圆的交点个数判断；一种是根据圆心距与半径大小比较判断。
第一种方法是从“形”进阶为“数”的研究，学生可能一时不易回答，这个时候可以引导学生将两个几何图形之间的公共点问题转化成方程组的解的问题，并诱导学生思考方程组解的个数与联立方程消元后的二次方程判别式的关系。
而第二种方法，通过前面所学到的知识，学生可以通过点与直线的距离公式得到圆心距d，由圆的方程可以得到半径r，进而通过比较d和r的大小关系来判断位置关系。
通过上述分析后引导学生将问题4的两种方法步骤化，并利用这两种方法让学生自主去解决前面的问题。在合作交流、自主探索中，加深学生对新知识的理解和应用。通过展示学生解决问题的方法，揭示知识之间的内在联系，培养学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性．教师提出问题，为学生创设良好的氛围，让学生在交流中学习数学．
让学生利用总结归纳出的方法解决引例中的问题，建立数学模型解决实际问题正是学习数学的原因。
3．应用举例，巩固提高
例1、已知直线l:x-y-3=0和圆心为C的圆x2+y2-4x-2y+1=0，判断直线l与圆C的位置关系.如果相交，求两交点间的距离。
例2、求过点A（3，0）且被圆C x2+y2-4x-2y+1=0截得的弦长为
的直线方程。
例3、已知直线l:x-my-3=0和圆心为C的圆x2+y2-4x-2y+1=0，试判断直线l与圆C的位置关系.
设计意图 例1是基础题，例2、3是变式题，旨在让学生综合运用直线与圆的位置关系的判定和性质来分析求解问题。本环节我采取了循序渐进的原则，使练习难度层层加大，有一定的梯度，基础题和变式题的结合既面向全体学生，也考虑了学有余力的学生的学习。
4．回顾反思，拓展延伸
引导学生进行课堂小结，给出下列表格，让学生自己填写。加深学生对本节课知识的理解和概括，形成系统化的知识网络。
|
直线与圆的位置关系 |
相 离 |
相 切 |
相 交 |
|
直线与圆的交点个数 |
0 |
1 |
2 |
|
d与r的关系 |
d>r |
d=r |
d<> |
|
解的个数 |
无解 |
唯一解 |
两个不同解 |
作业布置：
完成课后的3、4题；
思考题：
1、根据本课所学知识我们已经解决开头“轮船航线与台风问题”，那么，港口的位置在什么范围内就可以确保轮船不受台风影响？
2、设过点A（3，0）且被圆C x2+y2-4x-2y+1=0截得的弦长为a,求实数a的取值范围？
【设计意图】 基于本节课内容和学生的实际，我将课后的作业分为三个层次，分别安排了基础巩固题、理解题和拓展探究题。使学生完成基本学习任务的同时，在知识拓展时起激学生探究的热情，让每一个不同层次的学生都可以获得成功的喜悦。
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