《2.2.2 直线与圆的位置关系》教案

常州市田家炳高级中学       王琳

一、教材分析

《直线与圆的位置关系》是苏教版高中数学必修二第二章第二节的内容。圆的教学在平面几何占有重要地位，并且直线与圆的位置关系应用比较广泛。从知识体系上看，它安排在“点和圆的位置关系”之后，“圆与圆的位置关系”之前；从数学思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。因此，直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。

二、学情分析

学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，为本节课的利用直线和圆的方程的再研究打下了坚实的基础。

三、目标分析

(1)知识与技能

    能够根据给定的直线、圆的方程，熟练的求出交点坐标，会求弦长，掌握判断直线与圆的位置关系的方法，并解决一些简单问题。

 (2)过程与方法      

    通过观察、讨论、合作研究等数学活动，掌握转化的数学思想。

(3)情感态度与价值观

    通过对本节课知识的探究活动，加深学生对解析法解决几何问题的认识，提升自主探索和合作交流能力。

四、教学重、难点分析

教学重点：用解析法研究直线与圆的位置关系；

教学难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。

五、教学过程

（一）创设情境，提出问题 

 问题引入：轮船航线与台风问题

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

分析：以台风中心为原点，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10km为单位长度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆O方程为x2+y2=9,轮船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0,那么问题归结为直线l与圆O有无公共点。（书写课题）

（二）探究发现，建构新知

问题1：在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？

 问题2：在平面几何中，我们是怎样判断直线与圆的位置关系？

 问题3：如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？

d和r的关系	d<>	d=r	d>r
公共点个数	2	1	0

问题4：给定直线与圆的方程，如何去判断直线与圆的位置关系？

结合问题二三的答案，判断直线与圆的位置关系分为两种方法：一种是根据直线与圆的交点个数判断（公共点个数转化为方程组的解）；一种是根据圆心距与半径大小比较判断（点到直线的距离公式）。

（三）应用举例、巩固提高

例1、已知直线l：x+y-1=0和圆心为C的圆：x2+y2=4，判断直线l与圆C的位置关系.

（教师示范、板书）

解法一：由，消去y得，，

则直线l与圆C相交。

解法二：由点C（0，0），r=2，

点C到直线l的距离，

则直线l与圆C相交。

总结：上述两种判断方法的操作步骤

方法一、                              方法二、

1.将直线方程与圆方程联立成方程组；  1.把直线方程化为一般式，求出圆心坐标和半径r；

2.通过消元，得到一个一元二次方程；  2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；

3.求出其判别式△的值；             3.比较d与r的大小关系：

4.比较△与0的大小关系：

若△ ＞ 0 ，则直线与圆相交；       若d ＜ r，则直线与圆相交；

若△ ＝ 0 ，则直线与圆相切；       若d＝r，则直线与圆相切；

若△ ＜ 0 ，则直线与圆相离．       若d ＞r，则直线与圆相离．

 

问题5：（1）如何求例1中直线与圆的公共点坐标？

       （2）如何求例1中直线被圆所截得的弦长？

（教师提问并引导学生回答）

总结：求直线与圆的公共点即求对应方程组的解；

     求直线被圆所截得的弦长有两种方法：

法一：垂径定理（由圆的几何特征决定，也是解决与圆有关的问题最常用的方法）；

法二：联立方程组求解，并利用两点间距离求弦长（此法在研究直线与圆的问题中很少用，然而体现了解析几何的本质：用方程、方程组的思想解决几何问题，也是今后研究圆锥曲线的重要思想）

练1、已知直线l：x-y-3=0和圆心为C的圆：x2+y2-4x-2y+1=0，判断直线l与圆C的位置关系，如果相交，求直线l被圆C截得的弦长。

（学生板演，两种方法，教师点评，关注解题步骤）

例2、求过点A（3，0）且被圆C x2+y2-4x-2y+1=0截得的弦长为的直线方程。

（学生思考，教师点拨，学生板演）

解：（1）当直线l的斜率不存在时，即x=3,

由圆心C（2，1），r=2，点C到直线l的距离：d=1

弦长，合题意；

（2）当直线l的斜率存在时，设为即

又

，解得，即直线l的方程为y=0，

综上所述：直线l的方程为x=3或y=0。

教师点评：求圆的割线方程要首先考虑斜率不存在的情况，其次在斜率存在的情况下利用垂径定理建立关于斜率的方程，求出斜率的值。

例3、已知动直线l:x-my-3=0（）和圆心为C的圆x2+y2-4x-2y+1=0，试判断直线l与圆C的位置关系.

（学生思考，小组交流，成果展示）

法一：比较与半径2的大小关系；

（此法易想，但学生难以研究下去，根式含字母的代数式如何与具体实数比较大小？即便转化成，比较与0的大小关系也只有少部分学生能想到。）

法二：求直线中的定点，研究点和圆的位置关系；

教师点评：当研究动直线的相关问题时，可先尝试找出直线上的定点，那么就可以将直线与圆的位置关系转化成点与圆的位置关系。“动中有定”的思想是研究直线系的相关问题时常常选择的策略。

（四）回顾反思、拓展延伸

请学生总结：

1、  判断直线与圆的位置关系的方法；

2、  如何求直线被圆所截得的弦长；

3、  如何已知弦长求圆的割线方程。

 

课后完成：

1、根据本课所学知识请解决开头“轮船航线与台风问题”，并思考港口的位置在什么范围内就可以确保轮船不受台风影响？

2、课本P103：1、2、4

（五）板书设计

1、位置关系；             例1、             练习1            例2

2、判断方法；

总结：1、判断步骤

      2、求弦长