《等差数列的前n项和》教案

                                          常州市田家炳高级中学       王琳

一、             教材分析

本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的概念、通项公式及性质。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、             学情分析

高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

三、             目标分析

知识与技能：

（1）通过对等差数列求和公式的发现，探究过程，掌握等差数列前n项和公式的推导过程。

（2)掌握等差数列前n项和公式，会对等差数列前n项和公式进行简单的应用。

过程与方法：

（1）通过对等差数列前n项和公式的推导，渗透倒序相加求和的数学方法。

（2）通过对等差数列前n项和公式应用体会建模的思想，提高学生类比化归能力。

情感态度与价值观：

（1）通过公式的推导，展现数学中的对称美，体会模仿与创新的重要性

（2）获得发现的成就感，优化思维品质，提高数学的推理能力．

四、             教学重、难点分析

教学重点：

等差数列前n项和公式的推导和应用。

教学难点：  

等差数列前n项和公式的推导过程中倒序相加的思想方法。

五、             教学过程

（一）   情境引入

复习：我们已经学习了等差数列，先请同学们回忆：

①     等差数列的定义：

②     等差数列的通项公式：

③     等差数列的性质：

情境：某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，那么这堆钢管总共多少根呢？怎么计算比较简便呢？

（学生思考并回答）

师：上述问题实质是求等差数列的和即：4+5+6+7+8+9=？

问题1：如果这堆钢管很多，最上面的一层有1根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面一层有99根，那么问题就变成求,1+2+3+……+98+99=？又可以用哪些方法来计算呢?

（学生思考并回答）预设学生可能有的方法：

方法一：原式=（1+2+3+4+… +99+100）-100=4950

方法二：原式=（1+99）+（2+98）+（3+97）+…+（49+51）+50=4950

方法三：原式=（0+99）+（1+98）+（2+97）+…+（49+50）=4950

方法四：原式=（1+98）+（2+97）+（3+96）+…+（49+50）+99=4950

方法五：令S=1+2+3+…+98+99

        又S=99+98+97+…+2+1

        则2S= （1+99）+（2+98）+（3+97）+…+（98+2）+（99+1）

S=（97*104）÷ 2=4950

（板演）

问题2：1+2+3+…=？比较上述同学们的方法，哪个能较好的应用于这个式子的求和呢？

解：令S=1+2+3+…，

又S=+++…+2+1，

则2S=+++…+=，

结论：若已知一等差数列的首项、末项及项数是可以求其前n项和的，

情境及问题1、2的设计意图：学生可能比较容易想到的是首尾配对，即高斯求法，其高明之处为不同数的求和问题转化成相同数的求和问题。但在处理项数为奇数时会多出一项无法配对，特别是对于项数不确定时还需要分奇偶讨论，而方法五即倒序求和的思想避免了分奇偶讨论的情况。若学生想不到方法五，可以作如下铺垫：当碰到项数为奇数时，不能配对的是中间项，正好是“半对”，为了避免“半对”出现，我们可以把原式乘以2嘛。由此，顺利而自然的引出等差数列前n项和的求和方法——倒序相加。

（二）   建构数学

问题3：再推广，已知等差数列首项为，公差为，如何求等差数列的前项和？

师：根据上面的过程请同学们自主完成等差数列前n项和公式的推导过程，并请一位同学到黑板上板演。

新知：设等差数列首项为，公差为，则

                      ①

把各项次序反过来，又可以写成

                    ②

由①+②得

2=++…+=

由此可得等差数列的前项和公式

    （公式一）

即等差数列前n项和等于首末两项和的一半的n倍。

推导等差数列前n项和的方法：倒序相加。（将等差数列中无数项的和用首末两项表示）

问题4：如果已知等差数列的首项，公差，项数，能否求等差数列的前n项和？

（学生推导）

由等差数列的通项公式，又可得到

                           （公式二）

问题3、问题4设计意图：通过层层递进的问题的设置，让学生掌握“倒序相加”的思想方法，并渗透从特殊到一般的解决问题的方法，培养学生独立思考的好习惯和合作意识。让学生学会类比归纳。

问题5：观察公式一的形式，回忆我们学过的知识，你发现了什么？

学生回答：形式和梯形公式的形式相同。

 

问题5设计意图：通过对比，让学生了解公式的几何解释，更加快速，准确的记忆公式。

 

 

 

 

 

（三）   数学应用

例1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列中有关未知数。

（1）       已知求，

（2）       已知，求，

（3）  已知，求，

（4）  已知求

设计意图：让学生体会在等差数列的前n项和的两个公式当中，涉及到了个量，在这5个量中我们只要知道了任意三个就能求另外两个，这也就是我们常说的“知三求二”。

例2、在等差数列中，

 

 

 

 

设计意图：让学生体会关键是求出整体的值，并联系等差数列中的“下标和”性质。

例3、在等差数列中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。

 

 

 

 

变式、在等差数列中，为前项和，公差，求的值。

 

 

 

设计意图：让学生体会本题既可以采取方程组的思想求出首项和公差，又可以发现等差数列的前项和的常用性质：仍成等差数列，公差为为确定的正整数）。当然关于等差数列前项和性质的应用将是下一节课的重点。

 

（四）   课堂小结

1.等差数列前n项和Sn公式的推导;

2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与运用.

3.数列问题中方程及方程组思想的应用

 

（五）   课后作业

课本P44 练习：1~6

（六）   板书设计

                                2.2.3等差数列的前n项和

一、等差数列的前n项和公式：二、公式推导：         三、例题及解析

注：（1）推导方法：倒序相加

   （2）公式运用：知三求二